Wielościany

Wielościanem nazywamy figurę geometryczną będącą sumą skończonej ilości czworościanów, przy czym dowolne dwa punkty tej figury można połączyć łamaną leżącą w tej figurze. Czworościany na które można rozłożyć wielościan stanowią jego triangulację. Każdy wielościan można poddać triangulacji. Podobnie jest na płaszczyźnie, gdzie każdy wielokąt jest sumą skończonej ilości trójkątów, które stanowią jego triangulację.

WIELOŚCIANY JEDNORODNE

Najszerszą grupą wielościanów są wielościany jednorodne. Są to takie wielościany w których wszystkie ściany są wielokątami foremnymi (niekoniecznie tego samego rodzaju) i niekoniecznie wypukłymi) a wierzchołki są przystające. Dzielą się na wielościany jednorodne wypukłe i wklęsłe. Do wypukłych zaliczamy 5 wielościanów platońskich i 13 wielościanów archimedesowskich. Do wklęsłych wielościanów jednorodnych należy grupa 54 wielościanów wklęslych, które są przedstawione poniżej.

Wielościany platońskie

Wielościany, których wszystkie ściany są wielokątami foremnymi przystającymi do siebie a naroża są foremnymi kątami bryłowymi  (w jęz. ang. regular polyhedra). Istnieje 5 wielościanów foremnych które opisał już Platon – stąd ich nazwa wielościany platońskie: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan. Klikajmy w kazdy z nich by zobaczyć je w ruchu.

          czworościan                         sześcian                           ośmiościan                         dwunastościan                    dwudziestościan

Przyglądając sie wielościanom platońskim można dostrzec, że gdyby połączyć środki ścian sześcianu odcinkami, to otrzymalibyśmy krawędzie ośmiościanu foremnego i na odwrót: odcinki łącące środki ścian ośmiościanu foremnego mogą być krawędziami pewnego sześcianu. Podobnie rzecz się ma z dwunastościanem i dwudziestościanem.
Dwa wielościany w których środki ścian jednego są wierzchołkami drugiego i na odwrót nazywamy wielościanami dualnymi. Tak więc sześcian jest dualny z ośmiościanem, a dwunastościan z dwudziestościanem. A z czym jst dwoisty czworościan foremny?
Zwróćmy też uwagę, że w wielościanach dualnych liczba krawędzi jest taka sama. Obliczmy liczbę krawędzi par: sześcianu i ośmioscianu oraz dwunastoscianu i dwudziesościnu. Wszystko się zgadza, prawda?

Dla tych, którzy chcą dokładniej zgłębić tajemnice czworościanu foremnego zapraszamy do obejrzenia filmu „Czworościan” który jest dostępny w dziale „filmy”.

Wielościany archimedesowskie

zwane też półforemnymi to wielościany, których ściany są foremne ale niekoniecznie tego samego rodzaju zaś naroża są wszystkie przystające. Powstają z wielościanów foremnych przez obcięcie płaszczyzną ich naroży. Wyjątek stanowią dwa wielościany sześcian przycięty i dwunastościan przycięty które powstają w inny sposób, o czym będzie mowa nieco później.
W narożach wielościanów archimedesowskich powstają wielokąty foremne, nadając wielościanowi charakter jednorodności. Ilość krawędzi w ścianie wielokąta ściętego jest dwukrotnie większa, niż ilość krawędzi ściany wielościanu bazowego, z którego powstał.
Jeśli płaszczyzny przecięć stykają się ze sobą w środku każdej krawędzi, wówczas ściany nowoutworzonego wielościanu są tego samego rodzaju, co ściany wielościanu bazowego. Gdy przykładowo odetniemy naroża sześcianu do połowy jego krawędzi, to ścięcia będą trójkątami równobocznymi, ale pozostałe ściany nadal będą kwadratami. Uzyskamy w ten sposób sześcioośmiościościan. Wielościany archimedesowskie można podzielić według klas ich symetrii: czworościennej. sześcienno-ośmiościennej i dwunasto-dwudziestościennej.  Można zauważyć, że nazewnictwo i pochodzenie tych wielościanów w klasie symetrii sześcienno-ośmiościennej i dwunasto-dwudziestościennej  jest bardzo podobne. Poznajmy je kolejno:

Wielościany Archimedesa symetrii czworościennej – jest tylko jeden taki wielościan: czworościan ścięty.

Wielościany Archimedesa symetrii sześcienno-ośmiościennej – jest ich sześć: sześcian ścięty, ośmiościan ścięty, sześcioośmiościan, sześcioośmiościan rombowy, sześcioośmiościan rombowy wielki, sześcian przycięty:

    

Wielościany Archimedesa symetrii dwunasto-dwudziestościennej – jest ich również sześć: dwunastościan ścięty, dwudziestoscian ścięty, dwunastodwudziestościan, dwunastodwudziestościan rombowy, dwunastodwudziestościan rombowy wielki i dwunastościan przycięty.

   

Jeśli ktoś zapragnąłby wyznaczyć objętość wybranej bryły archimedesowskiej to zadanie może  okazać się dość trudne.  Ale czasami można taką bryłę zamienić na całkiem inną ale równoważną jej objętośćiowo, której objętość da się dość szybko wyznaczyć. Poniżej mamy przykład zamiany ośmiościanu ściętego w graniastosłup sześciokątny, którego objetość możemy wyznaczyć metodami szkolnymi.

Zwróćmy uwagę na dwa ostatnie wielościany archimedesowskie każdej z tych dwóch grup: sześcian przycięty
i dwunastościan przycięty.
Gdy Archimedes je sklejał z papirusu, złożył ze sobą kwadraty z trójkątami oraz pięciokąty z trójkątami i uzyskał te wielościany. Czyli stworzył ich siatki. Natomiast w dobie komputerów
i programów geometrii dynamicznej chciałoby się je stworzyć w przestrzeni za pomoca cyrkla i linijki tak jak inne wielościany Archimedesa. Niestety programy mogą stworzyć te wielościany tylko przez podanie współrzednych ich wierzchołków, które trzeba wyliczyć w skomlikowany sposób algebraicznie. Rzecz polega na tym, że sześcian przycięty (z ang. snub cube) powstaje z sześcianu przez oddalenie jego ścian na pewną odległość i doprowadzenie go do sześcioośmiościanu rombowego a następnie  skręcenie tych kwadratowych ścian o pewien kąt tak, by podzieliły się na trójkąty równoboczne. Poniższa animacja pokazuje ten sposób. Podobnie powstaje dwunastościan przycięty (z ang. snub dodecahedron).

Rodzinę wielościanów archimedesowskich zamyka nieskończona rodzina graniastosłupów o ścianach kwadratowych i antygraniastosłupów powstałych z tych graniastosłupów przez skręcenie jednej z podstaw względem drugiej o kąt
o mierze bedącej połową kąta o wierzchołku w środku tej sciany i ramionach lączących ten środek z dwoma kolejnymi wierzchołkmai podstawy. Ilustruje to poniższa animacja dla graniastosłupa pięciokątnego. Tutaj obrót nastąpił o kąt o mierze 36°.

 

WIELOŚCIANY CATALANA

Dla każdego wielościanu archimedesowskiego istnieje wielościan dualny do niego. Wielościany te opisał w 1865 roku francuski  matematyk  (niektórzy uważaja go za Belga). Poniżej prezentujemy zestaw tych wielościanów w takiej kolejności, w jakiej występowały ich odpowiedniki w zbiorze brył Archuimedesa.

czworościan potrójny

 

ośmioscian                    sześciościan                  dwunastościan           dwudziestoczworościan           ośmiościan
potrójny                         poczwórny                       rombowy                         trapezowy                            szóstkowy

.

dwudziestoczworościan  dwudziestościan           dwunastościan                trzydziestościan              sześćdziestoscian
piątkowy                  ↨         potrójny                            piątkowy                        rombowy                             trapezowy

dwudziestoscian         sześćdziestościan
szóstkowy                     piątkowy

Spośród wieloscianów Catalana na szczególną uwagę zasługują dwa wielościany: dwunastościan rombowy
i trzydziestościan rombowy. Pierwszy z nich odkrył ok 1609 r. Johannes Kepler, którego nazwisko będzie się jeszcze wielokrotnie przewijałao na tym portalu. Tym wielościanom będzie poświęcona specjalna strona.

WIELOŚCIANY JEDNORODNE WKLĘSŁE

Wielościany jednorodne wklęsłe należą również do klasy wielościanów, które powstają z brył Platona i  Archimedesa przez takie ich przekroje, które sś wielokątami foremnymi, niekoniecznie wypukłymi. Jest ich łącznie 54.
Też występują w trzech grupach symetrii: czworościennej, ośmiościenno-sześciennej i dwunasto-dwudziestościennej.

Konstruowanie  tych wielościanów w SketchUp jest bardzo trudne i wymaga dobrej znajomości samych wielościanów, przekształceń geometrycznych i  elementów geometrii wykreślnej. Zachęcam ogladających tę stronę do sporządzenia kilku z nich. Uczniowie XX LO w Krakowie w ciągu kilku lat (dwie grupy uczniów) wykonali pod moim kierunkiem w programie GeoGebra  modele kartonowe wszystkich tych wielościanów. Ich wystawa ucieszyła oczy matematyków uczestniczących w Zjeżdzie z okazji 100-lecia utworzenia Polskiego Towarzystwa Matematycznego w Krakowie – wystawa miała miejsce w budynku U2 krakowskiej Akademii Górniczo Hutniczej. Poniżej zdjęcie tej wystawy zrobione w trakcie obrad Zjazdu.

Poniższa galeria wielościanów jednorodnych wklęsłych powstała na bazie konstrukcji każdego z nich przy użyciu cyrkla i linijki (również przestrzennych) w programie SketchUp a następnie utworzenia z nich gifów animowanych

Wielościany jednorodne wklęsłe  symetrii czworościennej

Tu znajduje sie tylko jeden wielościan

01. Tetrahemihexahedron (czworościennie wklęsły sześciościan)

 

Wielościany jednorodne wklęsłe symetrii sześcienno-ośmiościennej)

Tych wielościanów jest dokładnie 10. Powstają z wielościanów archimedesowych symetrii sześciennej. Oto one:

02. Octahemioctahedron (ośmiościennie wklęsły ośmiościan)

03. Cubohemioctahedron (sześciennie wklęsły ośmiościan)

04. Cubocuboctahedron (sześcio sześcio ośmiościan)

05. Smallrhombihexahedron (mały rombowy sześciościan)

06. stellatedtruncatedhexahedron (ściety sześciościan gwiaździsty)

07. Greatrhombihexahedron (wielki sześciościan rombowy)

08. Greatcubicuboctahedron (wielki sześcio sześciościan)

09. Greatrhombicuboctahedron (wielki rombowy sześcioośmiościan)

   10. Cuboctatruncatedcuboctahedron (sześcioośmiościennie ścięty sześcioośmiościan)

11. Greattruncatedcuboctahedron (wielki ścięty sześcioośmiościan)

 

Wielościany jednorodne wklęsłe symetrii dwunasto-dwudziestościennej

Klasa tych wielościanów liczy łącznie 43 wielościany. Oto one:

12. Smallicosihemidodecahedron (mały dwudziestościennie wklęsły dwunastościan)

13. Smalldodecahemidodedacahedron (mały dwunastościennie wklęsły dwunastościan)

Zwróćmy uwagę na wieloscian 12 i 13. Różnia sie one tym, że zakryte wielokąty jednego z nich są otwarte w drugim i odwrotnie. Takie wielościany nazwałem bliźniaczymi.  Które z wielościanów symetrii sześcienno-ośmiościennej są też bliźniacze?

   14. Smalldodecicosidodecahedron (mały dwunastodwudziesto dwunastościan).

Zwróćmy uwagę, z którego  wielościanu Archimedesa powstał  wielościan 14?

15. Smallrhombidodecahedron  (mały dwunastościan rombowy)

16. Greatstellatedtruncateddodecahedron (wielki ścięty gwiaździsty dwunastościan)

17. Smallstellatedtruncateddodecahedron  (mały ściety gwiaździsty dwunastościan)

18. Greatdodecicoshedron (wielki dwunasto dwudziestościan)

19. Greatditrigonaldodecicosadodecahedron  (wielki trójścienny dwunasto
dwudziestodwunastościan)

20. Greaticosicosidodecahedron  (wielki dwudziestościenny dwudziestodwunastościan)

21. Icositruncateddodecadodecahedron (dwudziestościennie ścięty                                                                                                                                        dwunastodwunastościan)

22. Truncateddodecadodecahedron (ścięty dwunasto dwunastościan)

 

 

 

                                           23. Greattruncatedicosidodacahedron (wielki ścięty dwunastościan) – chwilowo brak

24. Greattruncateddodecahedron   (wielki ściety dwunastościan)

25. Greattruncatedicoshedron (wielki ścietydwudziestościan)

26. Greatdodecahemiicosahedron (wielki dwunastowklęsły dwudziestościan)

27. Dodecadodecahedron (dwunastodwunastościan)

 

28. Smaldodecahemiicosahedron  (mały dwunastowklęsły dwudziestościan)

29. Rhombicosihedron  (dwudziestościan rombowy)

30. Rhombidodecadodecahedron   (dwunastodwunastościan rombowy)

31. Icosidodecdodecahedron (dwudziesto dwunasto dwunastościan)

32. Greaticosihemidodecahedron  (wielki dwudziestościęty dwunastościan)

33. Greaticosidodecahedron  (wielki dwudziesto dwunastościan)

34. Greatdodecahemidodechedron  (wielki dwunastościęty dwunastościan)

35. Greatditriginalicosidodecahedron  (wielki trójścienny dwudziesto dwunastościan)

36.Smallditrigonalicosidodecahedron   (mały trójscienny dwudziesto dwunastościan)

37. Ditrigonaldodecadodecahedron  (trójścienny dwunastodwunastościan)

 

38. Smalldodecicosahedron   (mały dwunastodwunastościan)

39. Smallicosiicosidodecahedron  (mały dwudziesto dwudziesto dwunastościan)

40. Smallditrigonaldodecisosidodecahedron    (mały trójścienny dwunasto dwudziesto                                                               dwunastościan

 

                                            41. Greatrhombidodecahedron   (wielki dwunastościan rombowy)

 

42. Greatdodecicosidodecahedron  (wielki dwunastodwudziestodwunastościan)

 

 

 

 

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *