Wielościany

Wielościanem nazywamy figurę geometryczną będącą sumą skończonej ilości czworościanów, przy czym dowolne dwa punkty tej figury można połączyć łamaną leżącą w tej figurze. Czworościany na które można rozłożyć wielościan stanowią jego triangulację. Każdy wielościan można poddać triangulacji. Podobnie jest na płaszczyźnie, gdzie każdy wielokąt jest sumą skończonej ilości trójkątów, które stanowią jego triangulację.
Najszerszą grupą wielościanów są wielościany jednorodne. Są to takie wielościany w których wszystkie ściany są wielokątami foremnymi (niekoniecznie przystającymi i niekoniecznie wypukłymi) a wierzchołki są przystające. Dzielą się na wielościany jednorodne wypukłe i wklęsłe. Do wypukłych zaliczamy 5 wielościanów platońskich i 13 wielościanów archimedesowskich. Do wklęsłych wielościanów jednorodnych należy grupa 53 wielościanów, o których powiemy więcej poniżej.

Wielościany platońskie

Wielościany, których wszystkie ściany są wielokątami foremnymi przystającymi do siebie a naroża są foremnymi kątami bryłowymi  (w jęz. ang. regular polyhedra). Istnieje 5 wielościanów foremnych które opisał już Platon – stąd ich nazwa wielościany platońskie: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan. Klikajmy w kazdy z nich by zobaczyć je w ruchu.

          czworościan                         sześcian                           ośmiościan                         dwunastościan                    dwudziestościan

Przyglądając sie wielościanom platońskim można dostrzec, że gdyby połączyć środki ścian sześcianu odcinkami, to otrzymalibyśmy krawędzie ośmiościanu foremnego i na odwrót: odcinki łącące środki ścian ośmiościanu foremnego mogą być krawędziami pewnego sześcianu. Podobnie rzecz się ma z dwunastościanem i dwudziestościanem.
Dwa wielościany w których środki ścian jednego sa wierzchołkami drugiego i na odwrót nazywamy wielościanami dualnymi. Tak więc sześcian jest dualny z ośmiościanem, a dwunastościan z dwudziestościanem. A z czym jst dwoisty czworościan foremny?
Zwróćmy też uwagę, że w wielościanach dualnych liczba krawędzi jest taka sama. Obliczmy liczbę krawędzi par: sześcianu i ośmioscianu oraz dwunastoscianu i dwudziesościnu. Wszystko się zgadza, prawda?

Dla tych, którzy chcą dokładniej zgłębić tajemnice czworościanu foremnego zapraszamy do obejrzenia filmu „Czworościan

Wielościany archimedesowskie

zwane też półforemnymi to wielościany, których ściany są foremne ale niekoniecznie tego samego rodzaju zaś naroża są wszystkie przystające. Powstają z wielościanów foremnych przez obcięcie płaszczyzną ich naroży. Wyjątek stanowią dwa wielościany sześcian przycięty i dwunastościan przycięty które powstają w inny sposób i o czym będzie mowa nieco później.
W narożach wielościanów archimedesowskich powstają wielokąty foremne, nadając wielościanowi charakter jednorodności. Ilość krawędzi w ścianie wielokąta ściętego jest dwukrotnie większa, niż ilość krawędzi ściany wielościanu bazowego, z którego powstał.
Jeśli płaszczyzny przecięć stykają się ze sobą w środku każdej krawędzi, wówczas ściany nowoutworzonego wielościanu są tego samego rodzaju, co ściany wielościanu bazowego. Gdy przykładowo odetniemy naroża sześcianu do połowy jego krawędzi, to ścięcia będą trójkątami równobocznymi, ale pozostałe ściany nadal będą kwadratami. Uzyskamy w ten sposób sześcioośmiościościan. Wielościany archimedesowskie można podzielić według klas ich symetrii: czworościennej. sześcienno-ośmiościennej i dwunasto-dwudziestościennej.  Można zauważyć, że nazewnictwo i pochodzenie tych wielościanów w klasie symetrii sześcienno-ośmiościennej i dwunasto-dwudziestościennej  jest bardzo podobne. Poznajmy je kolejno:

Wielościany Archimedesa symetrii czworościennej – jest tylko jeden taki wielościan: czworościan ścięty.

Wielościany Archimedesa symetrii sześcienno-osmiościennej – jest ich sześć: sześcian ścięty, osiościan ścięty, sześcioośmiościan, sześcioośmiościan rombowy, sześcioośmiościan rombowy wielki, sześcian przycięty:

    

Wielościany Archimedesa symetrii dwunasto-dwudziestościennej – jest ich również sześć: dwunastościan ścięty, dwudziestoscian ścięty, dwunastodwudziestościan, dwunastodwudziestościan rombowy, dwunastodwudziestościan rombowy wielki i dwunastościan przycięty.

   

Jeśli ktoś zapragnąłby wyznaczyć objętość wybranej bryły archimedesowskiej to zadanie może  okazać się dość trudne.  Ale czasami można taką bryłę zamienić na całkiem inną ale równoważną jej objętośćiowo, której objętość da się dość szybko wyznaczyć. Poniżej mamy przykład zamiany ośmiościanu ściętego w graniastosłup sześciokątny, którego objetość możemy wyznaczyć metodami szkolnymi.

Zwróćmy uwagę na dwa ostatnie wielościany archimedesowskie każdej z tych dwóch grup: sześcian
i dwunastościan przycięty.
Gdy Archimedes je sklejał z papirusu, złożył ze sobą kwadraty z trójkątami oraz pięciokąty z trójkątami i uzyskał te wielościany. Czyli stworzył ich siatki. Natomiast w dobie komputerów
i programów geometrii dynamicznej chciałoby się je stworzyć w przestrzeni za pomoca cyrkla i linijki tak jak inne wielościany Archimedesa. Niestety programy mogą stworzyć te wielościany tylko przez podanie współrzednych ich wierzchołków, które trzeba wyliczyć w skomlikowany sposób algebraicznie. Rzecz polega na tym, że sześcian przycięty (z ang. snub cube) powstaje z sześcianu przez oddalenie jego ścian na pewną odległość i doprowadzenie go do sześcioośmiościanu rombowego a następnie  skręcenie tych kwadratowych ścian o pewien kąt. Poniższa animacja pokazuje ten sposób. Podobnie powstaje dwunastościan przycięty (z ang. snub dodecahedron).

Rodzinę wielościanów archimedesowskich zamyka nieskończona rodzina graniastosłupów o ścianach kwadratowych i antygraniastosłupów powstałych z tych graniastosłupów przez skręcenie jednej z podstaw względem drugiej o kąt
o mierze bedącej połową kąta o wierzchołku w środku tej sciany i ramionach lączących ten środek z dwoma kolejnymi wierzchołkmai podstawy. Ilustruje to poniższa animacja dla graniastosłupa pięciokątnego. Tutaj obrót nastąpił o kąt o mierze 36°.

 

WIELOŚCIANY CATALANA

Dla każdego wieloscianu archimedesowskiego istnieje wielościan dualny do niego. Wielościany te opisał w 1865 roku francuski  matematyk  (niektórzy uważaja go za Belga). Poniżej prezentujemy zestaw tych wielościanów w takiej kolejności, w jakiej występowały ich odpowiedniki w znbioreze brył Archuimedesa.

czworościan potrójny

 

ośmioscian                    sześciościan                  dwunastościan           dwudziestoczworościan           ośmiościan
potrójny                         poczwórny                       rombowy                         trapezowy                            szóstkowy

.

dwudziestoczworościan  dwudziestościan           dwunastościan                trzydziestościan              sześćdziestoscian
piątkowy                  ↨         potrójny                            piątkowy                        rombowy                             trapezowy

dwudziestoscian         sześćdziestościan
szóstkowy                     piątkowy

Spośród wieloscianów Catalana na szczególną uwagę zasługują dwa wielościany: dwunastościan rombowy
i trzydziestościan rombowy. Pierwszy z nich odkrył ok 1609 r. Johannes Kepler, którego nazwisko będzie się jeszcze wielokrotnie rzewijałao na tym portalu. Tym wielościanom będzie poświęcona specjalna strona.

WIELOŚCIANY JEDNORODNE WKLĘSŁE

 

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *