Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzeniu Pitagorasa poświęcono  wiele lekcji matematyki zarówno w szkole podstawowej jak
i średniej. Głównie są to lekcje rachunkowe. Oto propozycja wprowadzenia tego twierdzenia metodą odkrywczą. Komputer może odegrać tu niebagatelną rolę. Obserwowanie dynamicznego rysunku wraz z zamieszczonymi na ekranie poleceniami do wykonania, może bardzo pomóc w odkryciu tego twierdzenia. Zacznijmy więc….

UWAGA: w każdym aplecie można scrollem zmienić skalę apletu jeśli się nie mieści w ramce, można jeszcze więcej dokonać pod prawym przyciskiem myszą.

1 spojrzenie:

Ta konstrukcja to pierwsze spotkanie z twierdzeniem Pitagorasa; można by więc rzec, że na poziomie pierwszej klasy SP. Dziecko układa niczym puzzle wielokąty znajdujące się w dwóch mniejszych kwadratach i umieszcza je w największym kwadracie. To nic, że nie zna pojęcia kąta prostego i trójkąta prostokątnego. Układanka sama w sobie jest już intrygująca.

Jeśli konstrukcję tę uczeń przypomni sobie w starszej klasie, nastąpi zaakcentowanie problemu, może jakiś przebłysk i inne, dojrzalsze spojrzenie, skojarzenie faktów, niczym na filmie oglądanym ponownie, w którym zauważamy to, czego nie widzieliśmy wcześniej.  Oto aplet GeoGebry:


Pitagoras1

Chwytając myszą za czarne punkty umieść kolorowe wielokąty w kwadracie zbudowanym na najdłuższym (przeciwprostokątnej) trójkąta prostokątnego.
Możesz zmienić konfigurację rysunku przez zmianę położenia punktu P.
Sformułuj dostrzeżoną własność trójkąta prostokątnego uwzględniając fakt dokonywania zmian w konfiguracji konstrukcji.

2 spojrzenie:

W tym spojrzeniu mamy do czynienia z próbką geometrycznego dowodu twierdzenia Pitagorasa. Jej autorem jest Nissir-ed-Dina (1594 r.). Dowód składa się z kilku kroków polegających na wykazaniu, że suma pól kwadratów zbudowanych na krótszych bokach trójkąta prostokątnego jest taka sama jak pole kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku tego trójkąta. Czytelnik powinien wiedzieć, dlaczego kwadrat niebieski i zielony mimo, że przeinaczają się w równoległoboki, nie zmieniają pola.


Pitagoras2

3 spojrzenie:

Autorem tego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest amerykański polityk James Abraham Garfield (1831-1881), który w niecały rok po objęciu urzędu prezydenta USA został, zamordowany. Garfield był również wynalazcą urządzenia do wykrywania metali.  Nadaje się również z powodzeniem do przeprowadzenia dowodu tego twierdzenia już w ostatnich klasach SP, gdy uczniowie potrafią wyznaczać pole trapezu. Dowód składa się z kilku kroków i kilku prostych rachunków wyznaczających pola pewnego trapezu na dwa sposoby: jako suma pól trójkątów i jako tradycyjnego trapezu.

[

Pitagoras 3

Włączmy najpierw przycisk 1 trójkąt się obróci.
Teraz włączmy przycisk 2 trójkąt zsuwa się w dół
Powstał dodatkowo trapez.
Oblicz pole tego trapezu na dwa sposoby:

  • jako sumę pól trzech trójkątów,
  • tradycyjnie jak pole trapezu.
  • Porównaj algebraicznie ze sobą oba wyniki i zobacz, co otrzymałeś po zredukowaniu wyrazów podobnych.

4 spojrzenie

Tym razem spróbujemy niektórych czytelników zaskoczyć mimo ich  dobrej znajomości twierdzenia Pitagorasa. Na bokach trójkąta prostokątnego skonstruowane są prostokąty.  Aplet pozwala odczytać
pola tych prostokątów. Nie dość tego – aplet wyznacza sumę pól mniejszych prostokątów i pole największego – czerwonego. Okazuje się, że suma pól mniejszych prostokątów jest równa polu największego. Jak to się stało? Czy twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe również dla prostokątów?


Pitagoras4

Z boku ekranu GeoGebry widoczny jest suwak, którego zmiana powoduje zmianę wielkości tych prostokątów. Jak zmieniają się te prostokąty w trakcie przesuwania suwaka?
Czy już dostrzegliśmy  w czym tkwi cała tajemnica?

5 i 6  spojrzenie

W poprzednim przykładzie dowiedzieliśmy się że jeżeli  na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy prostokąty podobne do siebie, wówczas teza twierdzenia Pitagorasa jest nadal prawdziwa.
Poniżej zamieszczone są inne figury podobne zbudowane na bokach trójkąta prostokątnego. Można doświadczalnie przekonać się, że niezależnie od kształtu wielokątów z jednoczesnym zachowaniem ich podobieństwa, suma pól zbudowanych na krótszych bokach trójkąta prostokątnego jest równa polu wielokąta podobnego do nich, zbudowanego na przeciwprostokątnej (najdłuższym boku trójkąta prostokątnego). Podobnie dzieje się z podobnymi półkolami. W aplecie 5 polecam poruszać punktem M, a w aplecie 6 proponuję poruszać myszą wierzchołek C trójkąta prostokątnego. Co ciekawego wówczas dostrzegamy?


Pitagoras 5

Pitagoras 6

7 spojrzenie

W kwadracie o boku długości a+b umieszczony jest trójkąt prostokątny czerwonego koloru o bokach długości a, b, i c.  Pole białego kwadratu o boku c znajdującego się wewnątrz dużego kwadratu
jest równe .
Przesuń suwaki  s a potem t do końca w prawą stronę. Teraz zmieniła się konfiguracja figur wewnątrz kwadratu. Zamiast jednego kwadratu o boku c otrzymaliśmy dwa kwadraty, jeden o boku b a drugi o boku a. Więc pole jednego z nich jest równe b²  a drugiego .
Porównując ze sobą pola figur białego koloru otrzymujemy związek: a² + b² = c²

Pitagoras 5

Pitagoras 7

8 spojrzenie

Dowód  twierdzenie Pitagorasa przedstawiony na poniższym aplecie nie wymaga chyba żadnych komentarzy. Ciekawe, czy uczniowie poznają ideę dowodu? Ale zobaczmy co jeszcze nam się udało pokazać.

Pitagoras 5

Pitagoras 8

Gdy suwak znajduje się w położeniu „do lewej strony”, wówczas pole całego kwadratu o długości boku a+b wynosi (a+b)2.

Gdy ten sam suwak znajdzie się  w położeniu „do prawej” widzimy, że pole tego kwadratu składa się teraz z pól czterech figur: dwóch kwadratów o bokach a i b, oraz dwóch przystających prostokątów o wymiarach a, b.

Zatem:                                                         (a+b)2= a2+ 2ab + b2

Co daje nam znany wzór skróconego mnożenia. Autorem tego dowodu jest podobno sam mistrz Pitagoras.

9 spojrzenie

Na bokach latawca(czworokąt o prostopadłych przekątnych) skonstruowano kwadraty.
Odczytaj ich pola.  Oblicz: poleA + poleB, oraz PoleC + poleD.
Co zauważyłeś?

Przesuń wierzchołek latawca do punktu S. Czy potrafisz sformułować odkrytą własność
trójkąta, który powstał z latawca?

Przesuń teraz punkt N do punktu S=M. Otrzymałeś trójkąt prostokątny.
Jaki związek zachodzi teraz pomiędzy polami  widocznych kwadratów?

Pitagoras 5

Pitagoras 9

Wykonując opisane polecenia dostrzegamy:

Twierdzenie

Jeżeli przekątne czworokąta są do sobie prostopadłe, wówczas suma pól kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach tego czworokąta jest taka sama.

Gdy przesuniemy wierzchołek latawca do punktu S, wówczas .uzyskujemy kolejną hipotezę:

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie suma kwadratów zbudowanych na jednym z jego krótszych boków i na rzucie prostokątnym drugiego boku na najdłuższy bok jest taka sama dla obu krótszych boków.

Gdy zaś przesuniemy punkt N do punktów S=M, otrzymujemy tradycyjne twierdzenie Pitagorasa, gdyż kąt przy wierzchołku S ma miarę 90°.

10 spojrzenie

Spróbujmy odkryć twierdzenie, dla którego twierdzenia Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem. Wykonajmy konstrukcję GeoGebry:

  • Utwórzmy dowolny trójkąt ostrokątny ABC.
  • Na jego najdłuższym boku utwórzmy kwadrat ABKL.
  • Na boku AC budujemy niebieski kwadrat o boku długości b.
  • Na boku BC konstruujemy zielony równoległobok o bokach długości a i b.
  • Na boku niebieskiego kwadratu przeciwległym do AC dobudowano również zielony równoległobok o bokach długości b i a.
  • Oba zielone równoległoboki są przystające.
  • Do równoległoboku rozpiętym na boku BC dobudowany jest żółty kwadrat o boku długości a.

Poruszając wierzchołkiem C możemy doprowadzić do sytuacji, w której wszystkie kolorowe figury mieszczą się w kwadracie o boku AB długości c. Wówczas suma pól tych figur wynosi c2.

Poruszając punktem C tak, by trójkąt ABC był ostrokątny zmieniamy wprawdzie kształt równoległoboków, ale nie zmieniamy sumy pól wszystkich czterech czworokątów. Zawsze wynosi ona c2. Za każdym razem tyle zabieramy obszaru z kwadratu ABKL, ile do niego dodajemy.

[geogebra – script]

Pitagoras 10

Obliczmy sumę pół czterech czworokątów inaczej. Wynosi ona:

a2+ b2+ 2·pole równol.

Obliczmy pole równoległoboku zbudowanego na boku CB trójkąta ABC.
wynosi ono: b·h

Ale h/a = cos (ÐBCC’) = cos (180o – |ÐACB|) = – cos (ÐACB), co oznacza, że pole tego równoległoboku jest równe   – a·b·cos (ÐACB).

Uwaga – znak minus we wzorze na pole nie oznacza wcale, że pole to jest ujemne, gdyż cos(ÐACB) jest liczbą ujemną.

Zatem                                                    h = – a cos (ÐACB)

Stąd:

                                                 c2 = a2 + b2 +2·b·h = a2 + b2 – 2·a·b·cos (ÐACB)

Wzór ten odkrył francuski fizyk I matematyk Lazare Nicolas Marquerite Carnot (1753-1823).

Pozwala on wyznaczyć w dowolnym trójkącie trzeci bok trójkąta, w którym znamy długości dwóch pozostałych boków.

11 spojrzenie

Twierdzenie Pitagorasa znane jest na ogół jako twierdzenie planimetrii.
Spróbujmy odnaleźć jego przestrzenny odpowiednik. Trzeba zbudować w przestrzeni coś, co odpowiadałoby trójkątowi prostokątnemu. Odpowiednikiem przestrzennym trójkąta jest czworościan, więc spróbujmy zbudować czworościan prostokątny, to znaczy taki, w którym trzy ściany są trójkątami prostokątnymi. Najlepiej zbudować go na bazie sześcianu, gdyż mamy wówczas zapewnione istnienie trójkątów prostokątnych. Wytnijmy go więc z sześcianu – taki fragment sześcianu nazywamy rożkiem sześcianu.

[geogebra – script]

Pitagoras 11