Eksperyment z wiadrem (experiment with a bucket)

Geometria to nie tylko ta nauka, którą poznajemy na lekcjach matematyki ale ta, którą dostrzegamy wokół siebie. Właściwości geometryczne obiektów poznajemy nie tylko kreśląc je na papierze, mierząc ich wielkości i poszukując między nimi wzajemnych relacji,
ale właściwości geometryczne dostrzegamy obserwując przyrodę i otaczający nas …Świat Matematyki. Przykładem takiego odkrywania geometrii w otaczającym nas świecie może być zupełnie niezamierzony eksperyment, czasami nawet przypadek.

Jeśli zaświecimy światło w pokoju i ustawimy lampę nad plastikowym wiaderkiem, wówczas możemy zaobserwować na dnie wiadra kształt, który uformuje się podobnie do tego, który ilustruje rys. 1. Gdy uda się nam ustawić dwa lub trzy takie źródła światła, wówczas uzyskany kształt staje się bardziej urozmaicony, tworząc dwie lub trzy podobne formy rys. 2 i rys.3.

           rys. 1, rys. 2, rys. 3

Pojawia się niewątpliwie ważne pytanie: dlaczego tworzą się takie piękne formy geometryczne? Zauważamy, że poruszanie źródłem światła (to może być punktowe światło z latarki) powoduje zmiany kształtu tego geometrycznego tworu.

Zatem nasuwa się prosty wniosek: krzywe, które dostrzegamy na dnie wiadra powstają w wyniku znanego nam zjawiska optycznego – odbicia wiązki światła od walcowej powierzchni wiadra.

Jak konstruujemy kaustykę? (how to construct caustics?)

Twory geometryczne powstające w ten sposób noszą nazwę kaustyk. Ale jak taka kaustyka tworzy się i dlaczego właśnie w taki sposób widzimy ją po odbiciu? Aby zrozumieć mechanizm powstawania kaustyk wykonamy kilka konstrukcji geometrii dynamicznej w  programie GeoGebra.  Zacznijmy od kustyki okręgu:

• wykreślamy dowolny okrąg o środku S,
• wybieramy umowny kierunek padania promieni słonecznych w postaci wybranego odcinka u ,
• na okręgu wybieramy dowolny punkt P – na ten punkt będzie padał nasz promień światła słonecznego,
• przez punkt P kreślimy prostą p równoległą do umownego odcinka u – będzie to promień padającego światła ,
• prosta ta padając na okrąg w punkcie P odbija się od niego zgodnie z prawem odbicia: kąt padania jest równy kątowi odbicia.
• okrąg w punkcie P odgrywa rolę lokalnego lusterka, które otrzymamy wykreślając w punkcie P styczną do tego okręgu,
• styczna ta jest prostopadła do odcinka SP i przechodzi oczywiście przez punkt P – wykreślamy odcinek SP i prostopadłą do niego w punkcie P.Teraz musimy rozróżnić kąt padania – kąt zawarty między odcinkiem SP i promieniem padającym. Musimy znaleźć promień odbity. W tym celu:
  • przekształcamy dowolny punkt Z leżący na prostej p w symetrii względem odcinka SP ,
  • obraz Z’ punktu Z w tej symetrii wyznacza nam promień odbity – jest nim półprosta PZ’ – kreślimy ją.

  Następnie wystarczy w programie GeoGebra włączyć ślad półprostej PZ’ i uruchomić animację punktu P. Ślad włączamy klikając prawym przyciskiem myszy w tę półprostą i wybierając narzędzie Ślad włączony. Animacje natomiast wykonujemy automatycznie (nie ręcznie) klikając prawym przyciskiem myszy w punkt P i wybierając narzędzie Animacja Włączona.

  Półprosta PZ’ w trakcie ruchu punktu P zmienia swoje położenie i kierunek tworząc całą rodzinę półprostych, ale wszystkie one układają się tak, że każda z nich jest styczna do pewnej krzywej, którą dostrzega nasze oko – to właśnie kaustyka okręgu.

   

  Kaustyka okręgu (caustic of circle)

• Oto konstrukcja kaustyki okręgu, zilustrowana w dynamicznym aplecie.
• Kaustyka okręgu01

Mówiąc językiem matematyki kaustyka okręgu stanowi obwiednię rodziny tych półprostych, które są promieniami odbitymi od brzegu koła.

Słowo „obwiednia” oznacza ogólnie krzywą jaka się tworzy przez rodziny odcinków, półprostych, prostych i okręgów w trakcie ich zorganizowanego ruchu.

Kaustyka elipsy (caustic of elipse)

Podobnie możemy wykreślić kaustykę elipsy. W konstrukcji tej kaustyki trudność może sprawić konstrukcja stycznej do elipsy i prostopadłej do niej wystawionej w punkcie styczności (nazywanej „normalną” do elipsy). Otóż jeśli elipsę kreśliliśmy w GeoGebrze wskazując jej dwa punkty F₁ i F₂ zwane ogniskami i dowolny punkt A definiujący tę elipsę (narzędzie 6/1), to po wyborze dowolnego punktu P na elipsie „normalną” będzie stanowić dwusieczna kąta F₁PF₂, którą musimy utworzyć – narzędzie 3/4 . Prostopadła do niej wykreślona w punkcie P jest styczną do elipsy – (3/1). Teraz bez trudu odnajdziemy półprostą stanowiącą promień odbity od elipsy.

Okazuje się, że kaustyka elipsy przyjmuje różne kształty w zależności od położenia źródła światła Z. Poniższe rysunki ilustrują kilka takich obwiedni.

Kaustyka paraboli (caustic of parabole)

Nieco trudniejsza jest konstrukcja kaustyki paraboli, gdyż trzeba wiedzieć, w jaki sposób  wykreślić styczną do niej w dowolnym jej punkcie P.

Parabolę tworzymy w GeoGebrze wskazując prostą k (zwaną kierownicą paraboli) i punkt F zwany jej ogniskiem – narzędzie (6/3).

W celu utworzenia jej kaustyki:

• wybieramy dowolny punkt P paraboli oraz źródło światła Z,
• prostopadła do kierownicy k przechodząca przez punkt P przecina kierownicę w pewnym punkcie P’ – (3/1),
• symetralna punktów P’ i F jest styczną do paraboli w punkcie P – (3/3),
• prostopadła do tej stycznej wystawiona w punkcie P stanowi normalną do paraboli – (3/1),
• teraz wystarczy odbić względem tej normalnej punkt Z – (6/1) a uzyskamy półprostą PZ’ czyli promień odbity.
• włączenie śladu tej półprostej i animacji punktu P utworzy kaustykę paraboli.
• Obejrzyjmy kaustyki paraboli w pliku dynamicznym GeoGebry.

Mam nadzieję, że teraz czytelnik będzie potrafił samodzielnie obserwować kaustyki innych krzywych wybierając jako narzędzie program GeoGebra.